Appendix B — Remained Proofs

B.1 RBC Model

B.2 New Keynesian Model

B.2.1 CES生産関数における価格指数

命題 B.1 最終財の価格 $P_t$ は中間財の価格 $P_{j, t}$ を用いて以下のように表される:

\[ P_t = \left(\int_{0}^{1} P_{j, t}^{1-\varepsilon}\right)^{\frac{1}{1-\varepsilon}}. \]

また, 各中間財の需要 $Y_{j, t}$ は以下のように表される:

\[ Y_{j, t} = \left(\frac{P_{j, t}}{P_t}\right)^{-\varepsilon} Y_t. \]

Proof. 最終財の生産者が $Y_t$ 単位の最終財を生産する時の費用最小化問題を考える.

\[ \min_{\{Y_{j, t}\}_{j=0}^{1}} \int_{0}^{1} P_{j, t} Y_{j, t} dj \quad \text{s.t.} \left(\int_{0}^{1} Y_{j, t}^{\frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon}} \,dj\right)^{\frac{\varepsilon}{\varepsilon - 1}} = Y_t. \]

\[ \mathcal{L} = \int_{0}^{1} P_{j, t} Y_{j, t} dj + \lambda_t \left(Y_t - \left(\int_{0}^{1} Y_{j, t}^{\frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon}} \,dj\right)^{\frac{\varepsilon}{\varepsilon - 1}}\right) \]

FOC:

\[ \begin{aligned} P_{j, t} &= \lambda_t \underbrace{\left(\int_{0}^{1} Y_{j, t}^{\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon}}\right)^{\frac{1}{\varepsilon - 1}}}_{= Y_{t}^{\frac{1}{\varepsilon}}} Y_{j, t}^{-\frac{1}{\varepsilon}} \\ &= \lambda_t \left(\frac{Y_{j, t}}{Y_t}\right)^{-\frac{1}{\varepsilon}}. \end{aligned} \tag{B.1}\]

両辺に $Y_{j, t}$ を掛けて, $j$ で積分すると

\[ \int_{j=0}^{1} P_{j, t} Y_{j, t} \,dj = \lambda_t Y_t^{\frac{1}{\varepsilon}} \underbrace{\int_{j=0}^{1} Y_{j, t}^{\frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon}} \,dj}_{=Y_t^{\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon}}} = \lambda_t Y_t \]

ここで $\left(\int_{0}^{1} P_{j, t}^{1-\varepsilon} \,dj\right)^{\frac{1}{1-\varepsilon}} = \lambda_t Y_t$ という表現を見ると, 左辺は最終財を生産するための費用であることから, $\lambda_t$ は最終財の価格と解釈できることがわかります.

ここで式 B.1 の両辺を $1-\varepsilon$ 乗して, $j$ について積分し, $\frac{1}{1-\varepsilon}$ 乗すると

\[ \begin{aligned} \left(\int_{0}^{1} P_{j, t}^{1-\varepsilon} \,dj\right)^{\frac{1}{1-\varepsilon}} &= \lambda_t Y_t^{\frac{1}{\varepsilon}} \underbrace{\left(\int_{0}^{1} Y_{j, t}^{\frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon}} \,dj\right)^{\frac{1}{1-\varepsilon}}}_{Y_t^{-\frac{1}{\varepsilon}}} \\ &= \lambda_t. \end{aligned} \]

また, 式 B.1 に $\lambda_t = P_t$ を代入すると以下を得る.

\[ Y_{j, t} = \left(\frac{P_{j, t}}{P_t}\right)^{-\varepsilon} Y_t. \]

B.2.2 対数線形化

ここでは $\hat{x}_t := \log x_t - \log x$ とします. また, $\log (1 + x_t) \approx x_t$ という近似を用います.

命題 B.2 (New Keynesian IS Curveの対数線形化) \[ C_t^{-\sigma} = \beta \mathbb{E}_t\left[\frac{1+i_t}{1+\pi_{t+1}}C_{t+1}^{-\sigma}\right] \Rightarrow \hat{C}_t = \mathbb{E}_t[\hat{C}_{t+1}] - \frac{1}{\sigma}\left(i_t - \log \beta - \mathbb{E}_t[\pi_{t+1}]\right). \]

Proof. 期待値記号を無視して両辺の対数を取ると,

\[ -\sigma \log C_t = \log \beta + \log(1+i_t) - \log(1+\pi_{t+1}) - \sigma \log C_{t+1}. \]

\[ \begin{aligned} LHS &\approx -\sigma \log C - \sigma \frac{1}{C} (C_t - C) = -\sigma \log C - \sigma \hat{C}_t \\ RHS &\approx \log \beta + i_t - \pi_{t+1} - \sigma \log C - \sigma \frac{1}{C}(C_{t+1} - C) \\ &= \log \beta + i_t - \pi_{t+1} - \sigma \log C - \sigma \hat{C}_{t+1}. \end{aligned} \]

$LHS = RHS$ であるので,

\[ \hat{C}_t = \mathbb{E}_t[\hat{C}_{t+1}] - \frac{1}{\sigma}\left(i_t - \log \beta - \mathbb{E}_t[\hat{\pi}_{t+1}] \right). \]

命題 B.3 (New Keynesian Phillips Curveの対数線形化) \[ (1-MC_{t}^r)\varepsilon = 1 - \varphi\pi_{t}(1+\pi_{t}) + \varphi \beta\mathbb{E}_t\left[ \left(\frac{C_{t+1}}{C_{t}}\right)^{-\sigma}\pi_{t+1}(1+\pi_{t+1})\frac{Y_{t+1}}{Y_t} \right] \]

これを対数線形化すると,

\[ \pi_t= \beta \mathbb{E}[\hat{\pi}_{t+1}] + (1-\beta)\pi + \frac{\varepsilon-1 + (1-\beta)\varphi\pi(1+\pi)}{\varphi(1+\pi)(1+2\pi)}\widehat{MC^r}_{t} + \frac{\beta\pi}{\varphi(1+2\pi)}\mathbb{E}\left[\Delta \hat{Y}_{t+1} - \sigma \Delta\hat{C}_{t+1}\right] \]

Proof. NK-ISでは丁寧に導出したので, やや省略します.

\[ LHS = (1-\exp(\log MC_{t}^r))\varepsilon \approx (1-MC^r)\varepsilon - \varepsilon MC^r \widehat{MC^r}_{t}. \]

$RHS = 1 - RHS_1 + \varphi\beta\mathbb{E}[RHS_2]$ とします.

\[ \begin{aligned} RHS_1 &= \varphi(\exp(\log (1+\pi_t))-1)\exp(\log(1 + \pi_t)) \\ &\approx \varphi\pi(1+\pi) + \varphi ((1+\pi)^2 + \pi(1+\pi))(\pi_t - \pi),\\ RHS_2 &= \exp(-\sigma\Delta\hat{C}_{t+1})(\exp(\log (1+\pi_{t+1}))-1)\exp(\log (1+\pi_{t}))\exp(\Delta \hat{Y}_{t+1}) \\ &\approx \pi(1+\pi) + \pi(1+\pi)\left(-\sigma\Delta\hat{C}_{t+1} + \Delta \hat{Y}_{t+1}\right) + ((1+\pi)^2 + (1+\pi)\pi)(\pi_{t+1}-\pi). \end{aligned} \]

$LHS = RHS$ であり, 定常状態 $(1-MC^r)\varepsilon = 1 - (1-\beta)\varphi\pi(1+\pi)$ を用いると,

\[ \begin{aligned} \pi_{t} - \pi &= \beta \mathbb{E}[\hat{\pi}_{t+1} - \pi] +\frac{\varepsilon MC^r}{\varphi(1+\pi)(1+2\pi)}\widehat{MC^r}_{t} +\frac{\beta\pi}{\varphi(1 + 2\pi)}\mathbb{E}\left[-\sigma \Delta \hat{C}_{t+1} + \Delta \hat{Y}_{t+1}\right] \\ \pi_t&= \beta \mathbb{E}[\hat{\pi}_{t+1}] + (1-\beta)\pi + \frac{\varepsilon-1 + (1-\beta)\varphi\pi(1+\pi)}{\varphi(1+\pi)(1+2\pi)}\widehat{MC^r}_{t} + \frac{\beta\pi}{\varphi(1+2\pi)}\mathbb{E}\left[\Delta \hat{Y}_{t+1} - \sigma \Delta\hat{C}_{t+1}\right]. \end{aligned} \]

補題 B.1 (産出ギャップの対数線形化) 産出ギャップ $\widetilde{Y}_t := \log Y_t - \log Y_t^n$ は, 定常状態のゼロインフレ ($\pi = 0$) において, 以下のように線形化される.

\[ \widetilde{Y}_t = \hat{Y}_t - \hat{Y}_t^n. \]

Proof. ゼロインフレにおいては, 価格改訂のコストの有無は産出に影響を与えないため, sticky price の均衡と flexible price の均衡は等しくなる. したがって, $Y = Y^n$ であるため,

\[ \begin{aligned} \widetilde{Y}_t &:= \log Y_t - \log Y_t^n \\ &= (\underbrace{\log Y_t - \log Y}_{=: \hat{Y}_t}) - (\underbrace{\log Y_t^n - \log Y^n}_{=: \hat{Y}_t^n}). \end{aligned} \]

補題 B.2 (実質限界費用ギャップと産出ギャップの関係) 実質限界費用ギャップ $\widehat{MC^r}_t$ と産出ギャップ $\widetilde{Y}_t$ の関係は以下のように表される.

\[ \widehat{MC^r}_t = (\sigma + \phi) \widetilde{Y}_t. \]

Proof.

$Y_t = A_t N_t$ より, $N_t = \frac{Y_t}{A_t}$
式 2.1 より, $\frac{W_t}{P_t} = C_t^{\sigma}N_t^{\phi}$
$MC^r_t = \frac{W_t}{A_t P_t}$

よって, 以下の式を得ます.

\[ MC^r_t = A_t^{-(\phi+1)} Y_t^{\sigma + \phi}. \]

対数線形化すると,

\[ \widehat{MC^r}_t = -(\phi+1) \hat{A}_t + (\sigma + \phi) \hat{Y}_t. \]

式 2.3 より,

\[ \hat{Y}_t^n = \frac{1+\phi}{\phi+\sigma}\hat{A}_t \Rightarrow (1+\phi)\hat{A}_t = (\phi + \sigma)\hat{Y}_t^n. \]

よって, 補題 B.1 を用いて,

\[ \widehat{MC^r}_t = (\sigma + \phi)(\hat{Y}_t - \hat{Y}_t^n) = (\sigma + \phi) \widetilde{Y}_t. \]

B.3 DMP Framework

B.3.1 均衡条件

命題 B.4 式 3.4, 式 3.5, 式 3.6, 式 3.7 より, 次の式を得る.

\[ \frac{\kappa}{(1-\gamma)\lambda_{f}(\theta_t)} = \beta \mathbb{E}\left[z_{t+1} - b + \frac{1-\sigma-\gamma\lambda_w(\theta_{t+1})}{1-\gamma}\frac{\kappa}{\lambda_{f}(\theta_{t+1})}\right]. \]

Proof. ここでは, $w(z)$ を $w$ と省略し, $\mathbb{E}[\cdot| z]$ を $\mathbb{E}[\cdot]$ と省略します. 式 3.4 に式 3.5 を代入すると,

\[ J(z) = z - w + \beta \mathbb{E}[(1-\sigma) J(z')], \tag{B.2}\] \[ \frac{\kappa}{\lambda_f(\theta)} = \beta \mathbb{E}[J(z')]. \tag{B.3}\]

式 3.6 の差分を取り, $1-\gamma$ をかけると

\[ (1-\gamma)(W(z) - U(z)) = (1-\gamma)(w - b) + \beta \mathbb{E}[(1-\gamma)(1-\sigma-\lambda_w(\theta))(W(z') - U(z'))]. \tag{B.4}\]

式 B.4 に式 3.7 と式 3.5 を代入して,

\[ \frac{\gamma}{1-\gamma} J(z) = w-b + \beta \mathbb{E}\left[\frac{\gamma}{1-\gamma}(1-\sigma-\lambda_{w}(\theta))J(z')\right]. \tag{B.5}\]

式 B.2 と式 B.5 を足して, 式 B.3 を代入すると,

\[ \begin{aligned} \frac{1}{1-\gamma} J(z) &= z - b + \beta \mathbb{E}\left[\frac{1-\sigma-\gamma\lambda_w(\theta)}{1-\gamma}J(z')\right]\\ &= z - b + \frac{1-\sigma-\gamma\lambda_w(\theta)}{1-\gamma}\frac{\kappa}{\lambda_f(\theta)}. \end{aligned} \tag{B.6}\]

式 B.6 に $\beta$ をかけ, $t$ を $t+1$ に置き換えて期待値を取ると,

\[ \frac{1}{1-\gamma} \beta \mathbb{E}[J(z')] = \beta \mathbb{E}\left[z' - b + \frac{1-\sigma-\gamma\lambda_w(\theta')}{1-\gamma}\frac{\kappa}{\lambda_f(\theta')}\right]. \tag{B.7}\]

式 B.7 に式 B.3 を代入すると, 命題の式を得る.

--- engine: julia --- # Remained Proofs ## RBC Model ## New Keynesian Model ### CES生産関数における価格指数 ::: {#prp-price-index} 最終財の価格 $P_t$ は中間財の価格 $P_{j, t}$ を用いて以下のように表される: $$ P_t = \left(\int_{0}^{1} P_{j, t}^{1-\varepsilon}\right)^{\frac{1}{1-\varepsilon}}. $$ また, 各中間財の需要 $Y_{j, t}$ は以下のように表される: $$ Y_{j, t} = \left(\frac{P_{j, t}}{P_t}\right)^{-\varepsilon} Y_t. $$ ::: ::: {.proof} 最終財の生産者が $Y_t$ 単位の最終財を生産する時の費用最小化問題を考える. $$ \min_{\{Y_{j, t}\}_{j=0}^{1}} \int_{0}^{1} P_{j, t} Y_{j, t} dj \quad \text{s.t.} \left(\int_{0}^{1} Y_{j, t}^{\frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon}} \,dj\right)^{\frac{\varepsilon}{\varepsilon - 1}} = Y_t. $$ $$ \mathcal{L} = \int_{0}^{1} P_{j, t} Y_{j, t} dj + \lambda_t \left(Y_t - \left(\int_{0}^{1} Y_{j, t}^{\frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon}} \,dj\right)^{\frac{\varepsilon}{\varepsilon - 1}}\right) $$ FOC: $$ \begin{aligned} P_{j, t} &= \lambda_t \underbrace{\left(\int_{0}^{1} Y_{j, t}^{\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon}}\right)^{\frac{1}{\varepsilon - 1}}}_{= Y_{t}^{\frac{1}{\varepsilon}}} Y_{j, t}^{-\frac{1}{\varepsilon}} \\ &= \lambda_t \left(\frac{Y_{j, t}}{Y_t}\right)^{-\frac{1}{\varepsilon}}. \end{aligned} $${#eq-foc-ces} 両辺に $Y_{j, t}$ を掛けて, $j$ で積分すると $$ \int_{j=0}^{1} P_{j, t} Y_{j, t} \,dj = \lambda_t Y_t^{\frac{1}{\varepsilon}} \underbrace{\int_{j=0}^{1} Y_{j, t}^{\frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon}} \,dj}_{=Y_t^{\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon}}} = \lambda_t Y_t $$ ここで $\left(\int_{0}^{1} P_{j, t}^{1-\varepsilon} \,dj\right)^{\frac{1}{1-\varepsilon}} = \lambda_t Y_t$ という表現を見ると, 左辺は最終財を生産するための費用であることから, $\lambda_t$ は最終財の価格と解釈できることがわかります. ここで @eq-foc-ces の両辺を $1-\varepsilon$ 乗して, $j$ について積分し, $\frac{1}{1-\varepsilon}$ 乗すると $$ \begin{aligned} \left(\int_{0}^{1} P_{j, t}^{1-\varepsilon} \,dj\right)^{\frac{1}{1-\varepsilon}} &= \lambda_t Y_t^{\frac{1}{\varepsilon}} \underbrace{\left(\int_{0}^{1} Y_{j, t}^{\frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon}} \,dj\right)^{\frac{1}{1-\varepsilon}}}_{Y_t^{-\frac{1}{\varepsilon}}} \\ &= \lambda_t. \end{aligned} $$ また, @eq-foc-ces に $\lambda_t = P_t$ を代入すると以下を得る. $$ Y_{j, t} = \left(\frac{P_{j, t}}{P_t}\right)^{-\varepsilon} Y_t. $$ ::: ### 対数線形化ここでは $\hat{x}_t := \log x_t - \log x$ とします. また, $\log (1 + x_t) \approx x_t$ という近似を用います. ::: {#prp-lin-nkis} ## New Keynesian IS Curveの対数線形化 $$ C_t^{-\sigma} = \beta \mathbb{E}_t\left[\frac{1+i_t}{1+\pi_{t+1}}C_{t+1}^{-\sigma}\right] \Rightarrow \hat{C}_t = \mathbb{E}_t[\hat{C}_{t+1}] - \frac{1}{\sigma}\left(i_t - \log \beta - \mathbb{E}_t[\pi_{t+1}]\right). $$ ::: ::: {.proof} 期待値記号を無視して両辺の対数を取ると, $$ -\sigma \log C_t = \log \beta + \log(1+i_t) - \log(1+\pi_{t+1}) - \sigma \log C_{t+1}. $$ $$ \begin{aligned} LHS &\approx -\sigma \log C - \sigma \frac{1}{C} (C_t - C) = -\sigma \log C - \sigma \hat{C}_t \\ RHS &\approx \log \beta + i_t - \pi_{t+1} - \sigma \log C - \sigma \frac{1}{C}(C_{t+1} - C) \\ &= \log \beta + i_t - \pi_{t+1} - \sigma \log C - \sigma \hat{C}_{t+1}. \end{aligned} $$ $LHS = RHS$ であるので, $$ \hat{C}_t = \mathbb{E}_t[\hat{C}_{t+1}] - \frac{1}{\sigma}\left(i_t - \log \beta - \mathbb{E}_t[\hat{\pi}_{t+1}] \right). $$ ::: ::: {#prp-lin-nkpc} ## New Keynesian Phillips Curveの対数線形化 $$ (1-MC_{t}^r)\varepsilon = 1 - \varphi\pi_{t}(1+\pi_{t}) + \varphi \beta\mathbb{E}_t\left[ \left(\frac{C_{t+1}}{C_{t}}\right)^{-\sigma}\pi_{t+1}(1+\pi_{t+1})\frac{Y_{t+1}}{Y_t} \right] $$ これを対数線形化すると, $$ \pi_t= \beta \mathbb{E}[\hat{\pi}_{t+1}] + (1-\beta)\pi + \frac{\varepsilon-1 + (1-\beta)\varphi\pi(1+\pi)}{\varphi(1+\pi)(1+2\pi)}\widehat{MC^r}_{t} + \frac{\beta\pi}{\varphi(1+2\pi)}\mathbb{E}\left[\Delta \hat{Y}_{t+1} - \sigma \Delta\hat{C}_{t+1}\right] $$ ::: ::: {.proof} NK-ISでは丁寧に導出したので, やや省略します. $$ LHS = (1-\exp(\log MC_{t}^r))\varepsilon \approx (1-MC^r)\varepsilon - \varepsilon MC^r \widehat{MC^r}_{t}. $$ $RHS = 1 - RHS_1 + \varphi\beta\mathbb{E}[RHS_2]$ とします. $$ \begin{aligned} RHS_1 &= \varphi(\exp(\log (1+\pi_t))-1)\exp(\log(1 + \pi_t)) \\ &\approx \varphi\pi(1+\pi) + \varphi ((1+\pi)^2 + \pi(1+\pi))(\pi_t - \pi),\\ RHS_2 &= \exp(-\sigma\Delta\hat{C}_{t+1})(\exp(\log (1+\pi_{t+1}))-1)\exp(\log (1+\pi_{t}))\exp(\Delta \hat{Y}_{t+1}) \\ &\approx \pi(1+\pi) + \pi(1+\pi)\left(-\sigma\Delta\hat{C}_{t+1} + \Delta \hat{Y}_{t+1}\right) + ((1+\pi)^2 + (1+\pi)\pi)(\pi_{t+1}-\pi). \end{aligned} $$ $LHS = RHS$ であり, 定常状態 $(1-MC^r)\varepsilon = 1 - (1-\beta)\varphi\pi(1+\pi)$ を用いると, $$ \begin{aligned} \pi_{t} - \pi &= \beta \mathbb{E}[\hat{\pi}_{t+1} - \pi] +\frac{\varepsilon MC^r}{\varphi(1+\pi)(1+2\pi)}\widehat{MC^r}_{t} +\frac{\beta\pi}{\varphi(1 + 2\pi)}\mathbb{E}\left[-\sigma \Delta \hat{C}_{t+1} + \Delta \hat{Y}_{t+1}\right] \\ \pi_t&= \beta \mathbb{E}[\hat{\pi}_{t+1}] + (1-\beta)\pi + \frac{\varepsilon-1 + (1-\beta)\varphi\pi(1+\pi)}{\varphi(1+\pi)(1+2\pi)}\widehat{MC^r}_{t} + \frac{\beta\pi}{\varphi(1+2\pi)}\mathbb{E}\left[\Delta \hat{Y}_{t+1} - \sigma \Delta\hat{C}_{t+1}\right]. \end{aligned} $$ ::: ::: {#lem-output-gap} ## 産出ギャップの対数線形化産出ギャップ $\widetilde{Y}_t := \log Y_t - \log Y_t^n$ は, 定常状態のゼロインフレ ($\pi = 0$) において, 以下のように線形化される. $$ \widetilde{Y}_t = \hat{Y}_t - \hat{Y}_t^n. $$ ::: ::: {.proof} ゼロインフレにおいては, 価格改訂のコストの有無は産出に影響を与えないため, sticky price の均衡と flexible price の均衡は等しくなる. したがって, $Y = Y^n$ であるため, $$ \begin{aligned} \widetilde{Y}_t &:= \log Y_t - \log Y_t^n \\ &= (\underbrace{\log Y_t - \log Y}_{=: \hat{Y}_t}) - (\underbrace{\log Y_t^n - \log Y^n}_{=: \hat{Y}_t^n}). \end{aligned} $$ ::: ::: {#lem-lin-mc} ## 実質限界費用ギャップと産出ギャップの関係実質限界費用ギャップ $\widehat{MC^r}_t$ と産出ギャップ $\widetilde{Y}_t$ の関係は以下のように表される. $$ \widehat{MC^r}_t = (\sigma + \phi) \widetilde{Y}_t. $$ ::: ::: {.proof} - $Y_t = A_t N_t$ より, $N_t = \frac{Y_t}{A_t}$ - @eq-opt-household より, $\frac{W_t}{P_t} = C_t^{\sigma}N_t^{\phi}$ - $MC^r_t = \frac{W_t}{A_t P_t}$ よって, 以下の式を得ます. $$ MC^r_t = A_t^{-(\phi+1)} Y_t^{\sigma + \phi}. $$ 対数線形化すると, $$ \widehat{MC^r}_t = -(\phi+1) \hat{A}_t + (\sigma + \phi) \hat{Y}_t. $$ @eq-output-flexible より, $$ \hat{Y}_t^n = \frac{1+\phi}{\phi+\sigma}\hat{A}_t \Rightarrow (1+\phi)\hat{A}_t = (\phi + \sigma)\hat{Y}_t^n. $$ よって, @lem-output-gap を用いて, $$ \widehat{MC^r}_t = (\sigma + \phi)(\hat{Y}_t - \hat{Y}_t^n) = (\sigma + \phi) \widetilde{Y}_t. $$ ::: ## DMP Framework ### 均衡条件 ::: {#prp-dmp-eq} @eq-bellman-firm, @eq-free-entry, @eq-bellman-worker, @eq-foc-nb より, 次の式を得る. $$ \frac{\kappa}{(1-\gamma)\lambda_{f}(\theta_t)} = \beta \mathbb{E}\left[z_{t+1} - b + \frac{1-\sigma-\gamma\lambda_w(\theta_{t+1})}{1-\gamma}\frac{\kappa}{\lambda_{f}(\theta_{t+1})}\right]. $$ ::: ::: {.proof} ここでは, $w(z)$ を $w$ と省略し, $\mathbb{E}[\cdot| z]$ を $\mathbb{E}[\cdot]$ と省略します. @eq-bellman-firm に @eq-free-entry を代入すると, $$ J(z) = z - w + \beta \mathbb{E}[(1-\sigma) J(z')], $${#eq-dmp-eq-1} $$ \frac{\kappa}{\lambda_f(\theta)} = \beta \mathbb{E}[J(z')]. $${#eq-dmp-eq-2} @eq-bellman-worker の差分を取り, $1-\gamma$ をかけると $$ (1-\gamma)(W(z) - U(z)) = (1-\gamma)(w - b) + \beta \mathbb{E}[(1-\gamma)(1-\sigma-\lambda_w(\theta))(W(z') - U(z'))]. $${#eq-dmp-eq-3} @eq-dmp-eq-3 に @eq-foc-nb と @eq-free-entry を代入して, $$ \frac{\gamma}{1-\gamma} J(z) = w-b + \beta \mathbb{E}\left[\frac{\gamma}{1-\gamma}(1-\sigma-\lambda_{w}(\theta))J(z')\right]. $${#eq-dmp-eq-4} @eq-dmp-eq-1 と @eq-dmp-eq-4 を足して, @eq-dmp-eq-2 を代入すると, $$ \begin{aligned} \frac{1}{1-\gamma} J(z) &= z - b + \beta \mathbb{E}\left[\frac{1-\sigma-\gamma\lambda_w(\theta)}{1-\gamma}J(z')\right]\\ &= z - b + \frac{1-\sigma-\gamma\lambda_w(\theta)}{1-\gamma}\frac{\kappa}{\lambda_f(\theta)}. \end{aligned} $${#eq-dmp-eq-5} @eq-dmp-eq-5 に $\beta$ をかけ, $t$ を $t+1$ に置き換えて期待値を取ると, $$ \frac{1}{1-\gamma} \beta \mathbb{E}[J(z')] = \beta \mathbb{E}\left[z' - b + \frac{1-\sigma-\gamma\lambda_w(\theta')}{1-\gamma}\frac{\kappa}{\lambda_f(\theta')}\right]. $${#eq-dmp-eq-6} @eq-dmp-eq-6 に @eq-dmp-eq-2 を代入すると, 命題の式を得る. :::